TEORI ESTIMASI

STATISTIK II

MATERI                                               : PENAKSIRAN

            FAKULTAS/JURUSAN                      : FE / AKUTANSI DAN MANAJEMEN

SEMESTER/TAHUN AKADEMIK   : GENAP / 2007/2008

            MODUL/TATAP MUKA KE               : 7 (KETUJUH)

            PENYUSUN                                         : HARDELI HAMZAH

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS:

Diharapkan mahasiswa mampu:

1. Menghitung Besarnya Penaksiran untuk proporsi
2. Menghitung Penaksiran untuk Selisih Proporsi

DAFTAR MATERI PEMBAHASAN

Teori Estimasi

1.    Menaksir Proporsi

2.    Menaksir Selisih Proporsi

3.    Menentukan Jumlah Sampel

 MODUL 6  /  PERTEMUAN KEENAM

TEORI ESTIMASI

1. Menaksir Proporsi

Pada populasi berukuran N terdapat proporsi p untuk peristiwa A. Ambil sampel acak berukuran n dan terdapat x peristiwa A sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A = x/n. Jadi titik taksiran untuk p adalah x/n.

Untuk menentukan interval kepercayaan p, dapat digunakan rumus:

            p -             <           p            <            p  +    

dengan p = x/n dan q = 1 – p sedangkan  adalah bilangan z yang didapat dari daftar normal baku untuk peluang

Contoh:

1.   Kita ingin menaksir ada berapa persen anggota masyarakat yang berumur di atas 15 tahun yang termasuk golongan kaya raya. Untuk ini sebuah sampel acak berukuran n = 1200 diambil yang menghasilkan 504 golongan kaya raya.

Jawab:

Persentase golongan kaya raya dalam sampel =  x  100 %   =    42 %

Titik taksiran adalah 42 %.

dengan p = 0,42   q = 0,58  dan z_0,475 = 1,96, maka:

            0,42 – 1,96     <   p    <    0,42  +  1,96 

            atau:    0,39  <  p  <  0,45

Kita yakin sebesar 95 % bahwa persentase anggota masyarakat yang kaya raya akan ada dalam interval 39 %  dan  45 %.

2.   Untuk meningkatkan pelayanan kepada konsumen, PT PSK Jaya di Tanggerang melakukan survei kepuasan pelanggan. Dari 3000 pelanggan pada bulan Agustus ternyata 2100 orang menyatakan puas dan sisanya kurang puas. Buatlah interval keyakinan tentang kepuasan konsumen dengan menggunakan tingkat keyakinan 95%.

Jawab :

Persentase pelanggan puas =  x  100 %   =    70 %

Titik taksiran adalah 70 %.

dengan p = 0,70   q = 0,30  dan z_0,475 = 1,96, maka:

            0,70 – 1,96     <   p    <    0,70  +  1,96 

            atau:    0,684  <  p  <  0,716

Kita yakin sebesar 95 % bahwa persentase kepuasan konsumen akan ada dalam interval 68,4 %  dan  71,6 %.

3.   Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh para pegawainya. Untuk maksud tersebut, dilakukan penelitian terhadap 250 orang nasabah yang dipilih secara acak. Ternyata ada 60 orang yang tidak puas. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah pendugaan interval persentase para nasabah yang tidak puas.

Jawab :

Persentase nasabah tidak puas  =  x  100 %   =    24 %

Titik taksiran adalah 24 %.

dengan p = 0,24   q = 0,76  dan z_0,475 = 1,96, maka:

            0,24 – 1,96     <   p    <    0,24  +  1,96 

            atau:    0,24 – 0,053  <  p  <  0,24 + 0,053

                        0,187   <  p  <    0,293

Kita yakin sebesar 95 % bahwa persentase kepuasan nasabah bank akan ada dalam interval 18,7 %  dan  29,3 %.

2. Menaksir Selisih Proporsi

Misalkan kita punya dua populasi binom

Populasi	N1	N2
Parameter untuk peristiwa	p1	p2
Sampel	n1	n2
Proporsi untuk peristiwa	p1 =	p2 =

Akan ditentukan interval taksiran untuk (p₁  -  p₂). Untuk ini digunakan pendekatan distribusi normal asalkan n₁ dan n₂ cukup besar.

(p₁ - p₂) -   <  p₁ - p₂  <   (p₁ - p₂) +

dengan q₁ = 1 – p₁ ,  q₂ = 1 – p₂ dan  didapat dari daftar normal baku dengan peluang .

Contoh:

1.   2 sampel acak yang satu terdiri dari 500 pemudi dan satu lagi 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran telah diambil. Ternyata bahwa 325 pemudi dan 400 pemuda menyenangi pameran itu. Tentukanlah interval kepercayaan 95 % untuk perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyenanginya.

Persentase pemudi yang menyenangi pameran  = p₁ =  x 100 %  =  65 %

Persentase pemuda yang menyenangi pameran = p₂ =  x 100 %  =  57 %

q₁ = 35 %  dan  q₂ = 43 %;  n₁ = 500 dan  n₂ = 700

              =     =  0,0284

Sehingga diperoleh:

 (0,65 – 0,57) – (1,96) (0,0284)    <      p₁ - p₂     <    (0,65 – 0,57) + (1,96) (0,0284)

atau:                             0,024       <      p₁ - p₂     <      0,136

Jadi 95 % yakin bahwa perbedaan persentase pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4 % dan 13,6 %

2.   PT. Reksadana Duit menawarkan portopolio baru untuk investasi. Untuk produk baru ini, perusahaan perlu mengetahui kemampuan investor dalam menghadapi resiko. Untuk keperluan tersebut diambil sampel masing-masing 120 investor tua dan muda. Hasil survei menunjukkan bahwa sebanyak 80 orang kaum tua dan 60 orang kaum muda setuju untuk menerima resiko lebih besar. Buatlah interval keyakinan untuk melihat selisih proporsi dan kemampuan menghadapi resiko tersebut dengan tingkat keyakinan 90%.

Jawab :

n₁ = 120                n₂ = 120

Persentase kaum tua  = p₁ =  x 100 %  =  67 %

Persentase kaum muda = p₂ =  x 100 %  =  50 %

q₁ = 33 %  dan  q₂ = 50 %            Z_0,45 = 1,65

              =     =  0,063

Sehingga diperoleh:

     (0,67 – 0,50) – (1,65) (0,063)    <      p₁ - p₂     <    (0,67 – 0,50) + (1,65) (0,063)

            0,17 – 0,104                        <      p₁ - p₂     <         0,17 +  0,104

atau:                          0,066            <      p₁ - p₂     <         0,274

Jadi 90 % yakin bahwa perbedaan persentase kaum tua dan kaum muda yang berani mengambil resiko ada dalam interval yang dibatasi oleh 6,6 % dan 27,4 %

3.   BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D₁ dan D₂) untuk mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat pendugaan interval mengenai besarnya selisih persentase tersebut. Di daerah D₁ dan D₂ masing-masing dilakukan wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan apakah mereka setuju KB atau tidak.

Dari D₁ ada 90 orang dan D₂ ada 78 orang yang setuju KB. Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah tersebut dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.

Jawab :

n₁ = 120                n₂ = 120

Persentase daerah D₁  = p₁ =  x 100 %  =  75 %

Persentase daerah D₂  = p₂ =  x 100 %  =  65 %

q₁ = 25 %  dan  q₂ = 35 %            Z_0,45 = 1,65

              =     =  0,059

Sehingga diperoleh:

     (0,75 – 0,65) – (1,65) (0,059)    <      p₁ - p₂     <    (0,75 – 0,65) + (1,65) (0,059)

           0,10 – 0,097                         <      p₁ - p₂     <         0,10 +  0,097

atau:                          0,003            <      p₁ - p₂     <         0,197

Jadi 90 % yakin bahwa perbedaan persentase daerah D₁ dan daerah D₂ tentang persentase penduduk yang setuju KB ada dalam interval yang dibatasi oleh 0,3 % dan 19,7 %

3. Menentukan Jumlah Sampel Untuk Menduga Proporsi

            Rumus untuk menentukan jumlah sampel untuk menduga proporsi adalah:

                        n  =    +  1

Sebagai catatan bahwa nilai p dan (1-p) belum diketemukan, karena nilai p yang diperoleh dari sampel belum ditentukan sampelnya. Oleh sebab itu, harus diasumsikan nilai P (proporsi populasi) yang besarnya tertentu. Memperhatikan pada nilai P yang diasumsikan itu, maka pendugaan interval proporsi dirumuskan sebagai berikut.

                        n  = 

Untu menduga jumlah sampel dalam proporsi juga dapat menggunakan rumus lain, apabila nilai p dan P tidak diketahui, yaitu:

                        n  =  (0,25)

Contoh

1.   PT LG Elektronik menghasilkan produk TV baru berupa layar datar yang dilengkapi berbagai fasilitas. Untuk mencoba apakah produk ini disukai konsumen atau tidak, PT LG Elektronik akan melakukan survei di beberapa kota besar. Apabila dengan tingkat keyakinan 95% dan kesalahan penarikan sampel 3%, berapa jumlah sampel yang harus diinterview/

Jawab:

Nilai Z dengan probabilitas = 0,95/2 = 0,475 = 1,96

Nilai e = 3% = 0,03

      n = (0,25)  = 1.067

jadi jumlah responden sebagai sampel adalah 1.067 orang

Apabila dalam kenyataannya diketahui nilai P adalah orang yang menyukai produk LG sebesar 75%, maka nilai n didapatkan dari rumus pertama, yaitu :

      n  =    =    =  800

Jadi jumlah sampel yang harus diinterview sebesar 800 orang.

2.   Seorang kapala pabrik yang bertanggung jawab tentang mutu barang ingin mengestimasi besarnya proporsi barang yang rusak. Dia ingin 95% yakin bahwa pendugaan proporsi  dengan tingkat kesalahan sebesar 4%.

Jawab:

Nilai Z dengan probabilitas = 0,95/2 = 0,475 = 1,96

Nilai e = 4% = 0,04

      n = (0,25)  = 600

Jadi untuk mendapatkan pendugaan proporsi dengan kesalahan sebesar ± 0,04, paling sedikit harus menyelidiki sebanyak 600 buah barang.

3.   Kita ingin mengestimasi proporsi penduduk suatu kota yang lebih senang barang impor daripada barang dalam negeri. Berapa besarkah sampel (jumlah penduduk) yang harus diinterview, dengan tingkat keyakinan 95% dan kesalahan penarikan sampel sekitar 2%.

Jawab:

Nilai Z dengan probabilitas = 0,95/2 = 0,475 = 1,96

Nilai e = 2% = 0,02

      n = (0,25)  = 2401

Jadi banyaknya penduduk yang harus diinterview adalah sebanyak 2401 orang.

Soal-soal

1.    Seorang manajer ingin melihat pelaksanaan kegiatan proyek-proyek yang sedang dikerjakannya. Ternyata setelah diteliti dari 150 proyek yang dipilih secara random, ada 30 yang ternyata belum selesai pada waktunya. Dengan tingkat keyakinan 99% buatlah perkiraan interval persentase proyek yang belum selesai pada waktunya.

2.    Seorang pemeriksa ingin mengetahui berapa persen dokumen keuangan proyek yang akan diperiksa tidak sah. Dari 250 buah dokumen sebagai sampel acak yang diperiksa ternyata yang tidak sah ada 60 buah. Dengan tingkat keyakinan 90%, buatlah perkiraan interval persentase doumen yang tidak sah.

3.    Suatu kegiatan pengawasan mutu barang ingin mengestimasi proporsi barang yang rusak. Kalau tingat ketelitian harus 0,07 dan tingkat keyainan 95%, berapa jumlah sampel barang yang harus diperiksa? juga kalau tingat keyainan 99%?